Abstract: The author has in details considered types of mathematical stability. I have suggested to apply to the description of difficult social and economic system the system of the linear uniform differential equations with constant coefficients. The author has specified that in this case use of criteria of Raus, Gurvits, Mikhaylov for assessment of stability of the solution of system is possible.
Keywords: Decision, stability, initial data, external indignations, practical stability.
Актуальность. Существует достаточное количество исследований устойчивости сложной социально-экономической системы на экономическом уровне, например, [1,2,3]. Но, как представляется автору, недостаточно рассмотрен математический аспект устойчивости сложной социально-экономической системы. Применение математического аппарата для оценки устойчивости сложной социально-экономической системы позволит обеспечить оптимальное управление соответствующей сложной социально-экономической системой.
Объект исследования – сложная социально-экономическая система.
Предмет исследования – устойчивость сложной социально-экономической системы в математическом аспекте.
Цель исследования – рассмотреть существующие определения математической устойчивости сложной системы и предложить сопряжение для действующей сложной социально-экономической системы.
Методы исследования: анализ, сравнение, изоморфизм.
Системный подход к изучению сложной социально-экономической системы рассмотрен в [4,5,6,7].
Прежде следует определиться, устойчивость какого показателя рассматривается в данном исследовании. Иначе говоря, какой сигнал данной сложной социально-экономической системы будем рассматривать в качестве выходного и, соответственно, какие возможно подходы для обеспечения устойчивости выбранного сигнала. Если выбрать для рассмотрения такие сложные социально-экономической системы, как розничная торговля, образование, здравоохранение, охрана правопорядка, то можно предположить, что выходной сигнал соответствующей сложной социально-экономической системы – благо, поставляемое данной системой населению страны:
1) розничная торговля – продовольственные и непродовольственные товары;
2) образование – образовательная услуга;
3) здравоохранение – медицинская услуга;
4) охрана правопорядка – обеспечение безопасности граждан от лихих людей.
Тогда на примере розничной торговли можно предположить, что данная сложная социально-экономическая система будет устойчива в том случае, если она будет обеспечивать конечное потребление населения страны в части продовольственных и непродовольственных товаров в заранее заданном фиксированном диапазоне. Соответственно, в качестве входных сигналов в данную систему можно предложить следующие:
- продукция сельского хозяйства страны;
- продукция собственной промышленности;
- импорт;
- основные средства розничной торговли;
- занятые в розничной торговле.
Данная сложная социально-экономическая система зависит от времени, то есть это динамическая система. Систему можно описать системой дифференциальных уравнений. Для простоты расчетов возможно задействовать линейные однородные дифференциальные уравнения в полных производных.
Соответственно, уместно говорить об устойчивости решения данной системы линейных однородных дифференциальных уравнений (далее – СЛОДУ) на неограниченном временном интервале. Однако, существование человеческой популяции не может быть вечным, поэтому временной интервал можно ограничить. Например, оставшимся сроком жизни Солнца. Поскольку существующие виды математической устойчивости относятся именно к устойчивости решения, рассмотрим различные виды математической устойчивости (табл.1).
Таблица 1
Виды устойчивости решения системы
| № | Вид устойчивости | Краткое определение | Дополнения |
| 1 | По Ляпунову [8] | Есть частное решение системы дифференциальных уравнений (далее – СДУ) (1) в момент времени t0 и х0 (невозмущенное решение). Если решение СДУ при незначительном изменении х0 на δ (возмущенное решение при возмущении начальных данных на δ) достаточно близко к невозмущенному решению, то это частное решение СДУ устойчиво. | Анализируя поведение реальной сложной экономической системы (далее – СЭС), мы сталкиваемся с тем фактом, что начальные условия не изменить, они уже пройдены. |
| 2 | Относительно внешних возмущений (Демидович Б.П.) [9] | В СДУ появляются постоянно действующие внешние возмущения (правая часть в системе СДУ). (2) Если решение (2) в момент времени t0 близко к решению (1) в момент времени t0и остается таким же близким на всем временном интервале, то решение (1) устойчиво относительно постоянных внешних возмущений μF(t, x). | Начальные условия реальной СЭС уже пройдены и мы не можем знать, как бы развивалась система, если бы эти начальные условия были отягощены постоянным внешним возмущением. Нет возможности верификации ЭММ, |
| 3 | По Жуковскому | Это разновидность устойчивости по Ляпунову, если скорость прохождения временного интервала будет изменена. | Соответственно, на экономическом уровне здесь начальные условия уже зафиксированы, нет возможности изменить их.
|
| 4 | Практическая | Если допустимое отклонение решения (2) от решения (1) и временной интервал исследования предварительно заданы, и при прохождении этого временного интервала допустимое отклонение находится в заданных границах, то это практическая устойчивость. | Нет возможности сравнения расчетных и фактических данных. Невозможно провести многократно натурный эксперимент с СЭС. |
| 5 | Аттракторы | Решение СДУ на фазовой плоскости (в фазовом пространстве) может стремиться к некоторой точке (устойчивый узел – аттрактор, неустойчивый узел – репеллер). Т.е решение сложной экономической система во временном интервале стремится к аттрактору. | Задач исследования скорее определить стабильность системы на заданном временном интервале, что ближе к практической устойчивости. |
| 6 | Для системы СЛОДУ с постоянной матрицей | Если упростить экономическую модель, описать ее системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей А, то система устойчива, когда у корней матрицы А неположительные вещественные части Re λj(A) ≤ 0, (j=1,…,n) (3) | Можно использовать это упрощение при построении математической модели сложной экономической системы, так как оно приводит к применению критериев Гурвица, Рауса, Михайлова. |
Все рассмотренные виды устойчивости динамической системы так или иначе связаны с устойчивостью по Ляпунову. Если возможно будет описать сложную социально-экономическую систему системой СЛОДУ с постоянной матрицей (соответственно, с постоянными коэффициентами), то вопрос об её устойчивости может быть решен посредством критериев Гурвица, Рауса, Михайлова.
Результаты исследования.
- Исследованы виды устойчивости сложных социально-экономических систем на математическом уровне.
- Предложен вариант оценки устойчивости решения сложных социально-экономических систем.
- Предварительное описание сложной социально-экономической системы системой СЛОДУ с постоянными коэффициентами позволит применить для исследования устойчивости решения критерии Рауса, Гурвица, Михайлова.
Дальнейшее направление исследования – описать сложную социально-экономическую систему системой СЛОДУ с постоянными коэффициентами и исследовать устойчивость решения данной сложной социально-экономической системы.
Библиографический список
1. Исаенко Л.В. Теоретический аспект экономической устойчивости системы потребительской кооперации // Вестник Белгородского университета потребительской кооперации. –2006. –№ 4.– С. 217-218.2. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки/ Л.И. Лопатников. – М.: Дело, 2003.
3. Иоффе В.В. Оценка экономической устойчивости промышленного предприятия: автореф. … канд. экон. наук: 08.00.05. / В. В. Иоффе. – Иркутск, 2002.– 25 с.
4. Whitehead А.N. Process and reality. N.-Y.: Macmillan company, 1967. 546 p.
5. L. Bertalanffy «Theoretische Biologie», Bd. I, Berlin, 1932. 122 p.
6. Ростова О.В., Ильин И.В. Методы информационного обеспечения инновационной деятельности // Наука и бизнес: пути развития. 2017. №2, с.30-35.
7. Ильин И.В. Зайченко И.М. Выбор стратегии развития предприятия на основе метода анализа иерархий // Наука и бизнес: пути развития. 2017. №1, с.29-36.
8. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Л.: Гостехиздат, 1950.- 464с.
9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – СПб.: Лань, 2008.- 480с.