Введение

Региональный благотворительный центр поддержки и организации досуга тяжелобольных детей и детей-сирот изучает портрет спонсора, в основе которого лежит зависимость размера спонсорской (благотворительной) помощи от девяти факторов: вид оказываемой помощи (материальная (Х₁), досуговая (Х₂),  транспортная (Х₃),  вещественная (Х₄),  другая (Х₅)), возраст (Х₆), организационно-правовая форма лица, оказывающего помощь (Х₇),  уровень дохода спонсора (благотворителя) — (Х₈-Х₁₁),  и периодичность оказания помощи центру (Х₁₂).

Требуется построить линейную регрессионную модель с фиктивными переменными для качественных показателей:

Рисунок 1. Фиктивные переменные

На основе полученной модели требуется спрогнозировать размер оказываемой помощи благотворителем – физическим лицом в возрасте 50 лет с уровнем дохода свыше 30000 рублей, оказывающем материальную помощь в среднем один раз в месяц.

Источник данных: Результаты анкетирования 30 благотворителей, сотрудничающих с Региональным благотворительным центром поддержки и организации досуга тяжелобольных детей и детей-сирот (респондентов отбирали методом случайного бесповторного отбора из числа постоянных спонсоров благотворительной организации).

Рисунок 2.Исходные данные

Объекты и методы исследования

Объектами исследования выступили благотворители, сотрудничающие с Региональным благотворительным центром поддержки и организации досуга тяжелобольных детей и детей-сирот. Для проведения исследования был применет корреляционно-регрессионный метод.

Экспериментальная часть

1.На этапе дискриптивно-статистического анализа определяются значения средних величин, средних квадратических отклонений, значения коэффициентов асимметрии, эксцесса и их среднеквадратические ошибки по результативному и факторным признакам.

Таблица 1

Статистический анализ

Сравнивая значения средних величин и их средних квадратических отклонений – определим коэффициенты вариации (отношение ср. кв. отклонения и ср. арифметического) по всем факторам (таблица 2). Анализ полученных коэффициентов вариации свидетельствует о повышенном уровне варьирования факторов.

Таблица 2

Коэффициенты вариации

Таким образом, совокупность исследуемых факторов неоднородна, а их средние значения – нетипичны. Это обстоятельство не позволяет использовать исходные данные в дальнейшем анализе. Необходимо провести корректировку исходных данных, чтобы снизить значения коэффициентов вариации до 35%.

Анализ коэффициентов асимметрии и эксцесса позволяет сделать следующие выводы. Для факторов X6,X12,Y наблюдается правосторонняя асимметрия (коэффициент асимметрии больше 0). Для всех количественных факторов ряды распределения данных плосковершинны (коэффициент эксцесса меньше 0). Это свидетельствует об отсутствии близости распределений факторов к нормальному закону.

Таким образом, чтобы применить метод корреляционно-регрессионного моделирования, требуется корректировка данных (для снижения уровня вариации факторов и приведения распределений факторов к распределению близкому к нормальному закону).

Рисунок 3. Исходные данные в процессе корректировки

Рисунок 4. Заключительный дескриптивно-статистический анализ

Сокращение вариации факторов позволило получить однородные данные для факторов X6,X12,Y и значительно снизить вариацию для остальных факторов. В результате корректировки данных удалось довести значения коэффициентов асимметрии и эксцесса до требуемых уровней (<|1|). Это позволяет сделать вывод о близости распределений всех факторов к нормальному закону.

Таким образом, по итогам дескриптивно-статистического анализа делается заключительный вывод о возможности применения метода корреляционно-регрессионного моделирования для дальнейшего исследования.

2.Построение уравнения множественной регрессии

Результаты работы модуля множественная регрессия:

Dependent: Var10            Множ. R = 0 ,80100921     F = 0,1491918

 R²=  0,64161575    df =  12,1

  No. of cases: 14

Скорректированная R²= -3,6589953     p =  ,976297

Стандартная ошибка оценки:8117,3582166

Свободный член: 11639,542983  Стандартная ошибка: 19941,13  t(    1) =0 ,58370  p =  0,6636

        X1 b*=,211         X5 b*=-,38         X9 b*=-,01

          X2  b*=-,22            X6 b*=,485            X10 b*=-,07

           X3 b*=,159            X7 b*=-,03            X11 b*=-,14

           X4 b*=,196            X8 b*=-,04            X12 b*=,252

По полученным результатам можно дать следующие оценки модели:

1.Значение множ. коэф. корреляции Rух1х2х3х4х5х6х7x8x9x10x11x12= 0,8 свидетельствует о наличии достаточно тесной связи между (У) и факторами (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7,X8,X9,X10,X11,X12).

2.Значение коэффициента множественной детерминации R²= 0,64 свидетельствует о том, что факторы Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7,X8,X9,X10,X11,X12 на 64% характеризуют изменчивость результата Y. Это значит, что модель не учитывает 36% факторов, влияющих на Y.

Таблица 3

Итоговая таблица регрессии

В графе В приведены коэффициенты регрессии, на основании которых строим многофакторную регрессионную модель: У =11639,54+ 1529,26X1-3069,21X2-95,13X3 -3056,11X4+6830,82X5-41,93X6+1278,86X7-281,86X8-1277,69X9+1570,26X10-308,49X11+950,25X12

Полученная модель может быть уточнена, поскольку не все коэффициенты регрессии проходят проверку на критерий Стьюдента с вероятностью большей 95%. Расчетные значения t-критериев Стьюдента представлены в графе t(3), а вероятности ошибки, с которыми эти критерии были рассчитаны – в графе p-level. Табличное значение t-критерия Стьюдента при вероятности 95%, уровне значимости α=0,05 (5%) и числе степеней свободы df=13 определяем по таблице tтаб = 2,1604. Проведем проверку на t-критерий Стьюдента :

| t рас | = 0,583695<t таб (2,1604) — для свободного члена ао;

| t рас | = 0,161386<t таб (2,1604) — для коэффициента а1;

| t рас | = 0,290295<t таб (2,1604) — для коэффициента а2;

| t рас | = 0,007837< t таб (2,1604) — для коэффициента а3;

| t рас | =0,239976< t таб (2,1604) — для коэффициента а4;

| t рас | =2,487800> t таб (2,1604) — для коэффициента а5 ;

| t рас | = 0,093186< t таб (2,1604) — для коэффициента а6;

| t рас | = 1,191972< t таб (2,1604) — для коэффициента а7;

| t рас | = 0,026160< t таб (2,1604) — для коэффициента а8;

| t рас | = 0,124344< t таб (2,1604) — для коэффициента а9;

| t рас | = 0,169374< t таб (2,1604) — для коэффициента а10;

| t рас | = 0,032648< t таб (2,1604) — для коэффициента а11;

| t рас | = 2,327088> t таб (2,1604) — для коэффициента а12;

ВЫВОД. Таким образом, с вероятностью большей 95% статистически значимыми коэффициентами регрессии являются а5, а12, остальные коэффициенты сформированы под влиянием случайных причин. Поэтому факторы Х1, Х2, Х3, Х4,X6,Х7,X8,X9,X10,X11 можно исключить из модели как малоинформативные.

3.Построение двухфакторной модели

Построим уточненную двухфакторную модель. Затем проверим ее качество и то, насколько характеристики новой двухфакторной модели будут отличаться от первого варианта – 2-ти факторной модели.

Результаты множественной регрессии

Dependent: Var13            Множественная регрессия R =  0,50886563     F = 1,921844

 R²=  ,25894423    df = 2,11

  Число наблюдений: 14            скорректирован. R²= 0 ,12420681     p =  ,192389

  Стандартная ошибка оценки:3519,4059085

  Intercept: 11182,692308  Std.Error: 3200,383  t(   11) = 3,4942  p = 0 ,0050

  X5 b*=0,526           X12 b*=0,188

Таблица 4

Двухфакторная модель (итоговая таблица регрессии)

  Двухфакторная регрессионная модель примет вид:  Y=11182,69+7400,64X5+708,33X12

4.Построение моделей парной и частной корреляции

Таблица 5

Матрица парных корреляций

Полученные значения парных коэффициентов корреляции свидетельствуют о наличии хорошей положительной связи между размером спонсорской помощи (У) и периодичностью оказания помощи центру (Х12) – ryx5=0,47 , а также о наличии слабой положительной связи  между другим видом помощи(Х12) – ryx12=0,05. При этом отсутствие межфакторной связи rx5x12= -0,27 положительно построенную регрессионную модель.

Таблица 6

Частные корреляции

Значения которых: rух12/ х5 = 0,5;rух5/ х12 = 0,2 , подтверждают наличие умеренно-тесной положительной связи между размером спонсорской помощи (У) и периодичностью оказания помощи центру (Х12) (исключая влияние Х5), а также умеренной положительной связи между размером помощи(У) и другими видами помощи (Х5) (исключая влияние Х12), с высокой степенью вероятности р>95%.

   Оценим статистическую надежность полученного уравнения множественной регрессии с помощью общего F-критерия Фишера, который проверяет нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров построенного регрессионного уравнения и показателя тесноты связи (Но: а0=а12=а5=0, Rух12х5 =0).

Фактическое значение F-критерия Фишера – Fрас= F = 1,921844 сравниваем с табличным значением – Fтаб= 3,98.  Поскольку Fрас< Fтаб, то гипотеза Но подтверждается.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что анализируемые данные ненадежно доказывают наличие линейной связи между результатом и факторами. Признается статистическая ненадежность полученного регрессионного уравнения в целом, а также параметров регрессии а0, а12 и а5 и показателя тесноты связи Rух12х5.

Сама модель Y=11182,69+7400,64X5+708,33X12 может быть интерпретирована следующим образом. С увеличением частоты оказания помощи на 1, размер помощи возрастает на 7400,6 рублей. При увеличении других видов помощи на 1, размер оказываемой помощи увеличивается на 708,33.  (при неизменности первого включенного в модель фактора).

Заключение

Точечный и интервальный прогноз с вероятностью 95% по следующим данным: Х1= 0; Х2= 0; Х3=0; Х4=0; Х5= 0; Х6= 50; Х7=0;X8=0;X9=0;X10=0;X11=1;X12=1

Подставляя в модель планируемые значения можно построить точечный прогноз спроса:

У* = 11639,54+1529,26X1-3069,21X2-95,13X3-3056,11X4+6830,82X5-41,93*50+1278,86X7-281,86X8-1277,69X9+1570,26X10-308,49*1+950,25* 1=10185руб.

Но поскольку не все показатели признаны значимыми, правильнее будет рассчитать прогноз по новой модели:

У = 11182,69+7400,64X5+708,33X12

У* = 11182,69+708,33=11891 руб.

Для построения доверительного интервала: y**ϵ[У*±Δ *] необходимо определить tтабл (по таблицам t-критерия Стьюдента) и Ϭ.

tтабл= 2,1604; Ϭ=11891/1,39(корень из F) =8554,7; Δ *= 2,1604*8554,7=18481,5.

Таким образом, интервальный прогноз c вероятностью 95% составит:

y**ϵ[11891-18481,5.; 11891+18481,5], т.е. y**ϵ[-6590,5;30372,5].