Индекс УДК 330.45
Дата публикации: 25.11.2016

Метод вычисления ценовой эластичности спроса

The method of calculating the price elasticity of demand

Калитин Б.С., Кузьмич М.С.
Белорусский государственный университет
Kalitin B.S., Kuzmich M.S.
Belarusian State University
Аннотация: В статье продолжается исследование работ [1-6], где использована формула равновесия, основанная на функциональном представлении экономических сил спроса и предложения рынка и идеи равенства таких сил. Поскольку такая формула содержит, в частности, абсолютное значение коэффициента эластичности спроса по цене ed , то из нее получаем формулу для ed. На основании полученной таким образом формулы выясняются свойства коэффициента ed в зависимости от рыночного равновесия po, абсолютной величины коэффициента ценовой эластичности предложения es и граничных значений p*,p** интервала допустимых цен. Изучается диапазон изменения эластичности спроса по цене как функции ценовой эластичности предложения, равновесной цены на рынке и затрат покупателя и продавца. Представленное выражение для ed дополняет потенциальные возможности вычисления эластичности спроса по цене при других заданных параметрах модели равновесия. Выявленные за-кономерности дают возможность математически обосновать соответствующие феномены рынка.

Abstract: The article continues research projects [1-6], where we have used the formula of balance, based on the functional representation of the economic forces of market supply and demand, and the idea of the equality of forces. Because this formula contains, in particular, of absolutely coefficient value for the price elasticity of demand ed , some of it we get the formula for ed . Based on the thus obtained formula the properties of the coefficient depending on market equilibrium, the absolute value of the coefficient of price elasticity of supply and limit values of permissible range of prices developed. We study a range of changes in price elasticity of demand as a function of price elasticity of supply, the equilibrium market price and the buyer's and seller's cost. The present expression for the price elasticity of demand complements the potential calculating the price elasticity of demand for other specified parameters of the equilibrium model. The revealed regularities allow mathematically prove relevant market phenomena.
Ключевые слова: рынок, ценовая эластичность спроса, ценовая эластичность предложения, равновесная цена, экономическое равновесие

Keywords: market, the price elasticity of demand, the price elasticity of supply, the equilibrium price, the economic balance


1.  ВВЕДЕНИЕ

Ценовая эластичность непосредственно характеризует чувствительность спроса к цене; знание ее величины помогает рассчитать уровень спроса для различных цен. Однако на практике определить и рассчитать эластичность конкретного товара представляется трудной задачей ввиду отсутствия данных или неточности информации. Один из методов определе-ния ценовой эластичности заключается в построении экономико-математических моделей. Моделирование поведения потребителей на рынке, установление формульных зависимостей и взаимосвязей многих психологических и социальных факторов представляет достаточно трудную задачу, но в случае ее успешного решения, как правило, дает ощутимые результаты.
В модели экономического равновесия 4] представлены экономические силы спроса   и предложения   Эти формулы соответственно имеют вид:

(1)

 

 (2)

Здесь использованы следующие обозначения:
ed — абсолютная величина коэффициента эластичности спроса по цене;
es —  абсолютная величина коэффициента эластичности предложения по цене;
k — коэффициент пропорциональности, зависящий от  специфики реализуемого товара или услуги на рынке;
p — текущая цена единицы товара;
p0 -  равновесная цена товара;
p* — нижнее пороговое значение цены товара, связанное с осуществленными затратами со стороны продавца;
p** —  верхнее потолочное значение цены товара, выше которого покупатели отказываются приобретать предлагаемый товар;
P =p** —  p* —  длина интервала допустимых цен .
В цитируемой работе 4 равновесие рынка находится из равенства абсолютных величин рыночных сил (1) и (2). Поэтому приходим к следующему уравнению равновесной цены :

 (3)

при условии, что

 .                                                                            (4)

Формула эластичности спроса. Решая уравнение (3), находим выражение для параметра ценовой эластичности спроса в виде

(5)

определенное соотношением (4), то есть равновесие принадлежит интервалу допустимых цен рынка. Поставим цель исследовать поочередно свойства функции (5).

2.   ЗАВИСИМОСТЬ  ЦЕНОВОЙ  ЭЛАСТИЧНОСТИ  СПРОСА ОТ  ПАРАМЕТРА

Свойства функции . Из формулы (5) видно, что эластичность спроса по цене ed является линейной возрастающей функцией эластичности предложения по цене e . Кроме то-го, имеем предельное равенство:

(6)

На основании отмеченных свойств функции определяемой формулой (5) и (6), схема ее графика изображена на рис. 1. Здесь линия графика представляет некоторую часть прямой, определяемую экономическими условиями модели.

Эластичность функции ed по параметру es. Для исследования эластичности положим x=es. Тогда из равенства (5) получим функцию

 (7)

Воспользуемся общепринятым в экономике способом вычисления эластичности E(ed(x)) для непрерывно дифференцируемой функции ed(x). Она определяется формулой:

.

Таким образом, E(ed(x))=1, или имеет место единичная эластичность. Это означает, что рассматриваемый параметр   растет теми же темпами, что и воздействующий на него фактор  es.

3.   ЗАВИСИМОСТЬ  ОТ  ГРАНИЦ  ИНТЕРВАЛА  ДОПУСТИМЫХ  ЦЕН

Преобразуем формулу (5), записав ее в виде функций зависимостей соответственно от параметров нижней пороговой границы p* и верхней потолочной границы p** интервала допустимых цен. Тогда получим следующие выражения:

 (8)

Из формул (8) видим, что эластичность спроса по цене ed  является возрастающей функцией параметров p* и p**, причем первая из функций определена для значений p* из интервала а вторая — для значений p**, подчиненных неравенству Справедливы следующие предельные условия:

Кроме того, нетрудно проверить, что вторая производная функции положительна при

Следовательно, функция является выпуклой. Вторая производная другой функции ed(p**) отрицательна при p*>0 и p**>0, что значит, что данная функция является вогнутой. Пользуясь формулами (8), можно изобразить схемы графиков двух функций ed=ed(p*) и ed=ed(p**) (рис. 2).

Эластичность функции e по параметрам p* и p**. Исследуем эластичность функции ed относительно каждой из границ интервала допустимых цен. Положим x = p*, тогда для первого из равенств (8) получим функцию

Вычисляя эластичность функции ed(x)  в зависимости от x, после необходимых преобразований получим:

Положим теперь y = p**, тогда для второго из равенств (8) получим функцию

Здесь эластичность E(ed(y)) функции по отношению к y представляется следующим выражением:

Простые рассуждения приводят к следующим выводам:

Схемы графиков функций эластичностей E(ed(p*)) и E(ed(p**)) представлены на рис. 3.

Таким образом, функция ed эластична по нижней границе интервала допустимых цен p* и имеет различную эластичность в зависимости от значения равновесной цены p0 по верхней границе интервала допустимых цен p**.

4.   ЗАВИСИМОСТЬ  ОТ  РАВНОВЕСНОЙ  ЦЕНЫ

Преобразуем формулу (5), записав ее в виде функции ed(p0)  зависимости от параметра равновесной цены рынка. Тогда получим следующее выражение:

 (9)

Из формулы (9) видим, что эластичность спроса по цене ed является убывающей функцией параметра p0, причем функция определена для значений p0 из интервала p*<p0<p**. Справедливы следующие условия:

Кроме того, вторая производная функции ed(p0) положительна при p0>0. Следовательно, функция является выпуклой. Пользуясь формулой (9), можно изобразить схему графика функции eded(p0) (рис. 4).

Эластичность по параметру равновесия. Согласно формуле (5) имеем функцию

(10)

Она дробно-линейная, ее функция эластичности вычисляется по приведенной формуле. В результате получим:

Вычислим производную функции E(ed(x)), где x=p0.  Имеем:

Вычисляем выражение

Следовательно, возвращаясь к исходному обозначению x = p0, получаем:

(11)

Анализируя формулу (11), приходим к выводу, что функция   имеет глобальный максимум на интервале своего определения в точке

В этой точке E(еd(p+0))  принимает значение, равное

После упрощения получим:

(12)

Кроме того, имеют место предельные равенства:

(13)

В соответствии со свойствами (12) и (13) схема графика функции (11) представлена на рис. 5.

Неравенство (12) и равенства (13) показывают, что величина ed эластична по параметру равновесия  p0.

5.   ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Экономико-математическая модель эластичности спроса по цене ed построена на основании формулы экономического равновесия, разработанного авторами. Анализ модели взаимодействия экономических сил спроса и предложения с целью установления формулы ценовой эластичности спроса осуществляется на заранее заданном интервале p*<p<p** допустимых цен рынка. Выражение для ed представлено в виде функциональной зависимости от рыночного равновесия p0, ценовой эластичности предложения es и граничных значений p*, p** интервала допустимых цен. Формула (5) позволяет выяснить потенциальные возможности вычисления эластичности спроса по цене при других заданных параметрах модели равновесия. По результатам исследования можно отметить следующие свойства.

1)    Эластичность спроса по цене ed  является линейной возрастающей функцией эластичности предложения по цене es, при этом имеет место единичная эластичность.  Это означает, что параметр ed растет теми же темпами, что и воздействующий на него фактор es .
2)    Эластичность спроса по цене ed, как функция нижней границы интервала допустимых цен рынка p* (0<p*<p**), возрастает с ростом параметра p*, т. е. с увеличением нижнего порогового значения цены товара, связанного с осуществленными затратами со стороны продавца, ценовая эластичность спроса увеличивается. Зависимость ed=ed(p*) является возрастающей выпуклой функцией.
3)    Эластичность спроса по цене ed, как функция верхней потолочной границы интервала допустимых цен  p** (p**>p* ), возрастает с ростом параметра p**, т. е. с увеличением верхнего потолочного значения цены товара, выше которого покупатели отказываются приобретать предлагаемый товар, ценовая эластичность спроса также увеличивается. Зависимость ed=ed(p**) является возрастающей вогнутой функцией.
4)    Функция ed эластична по нижней границе интервала допустимых цен p*, однако имеет различную эластичность в зависимости от значения равновесной цены p0 по верхней границе интервала допустимых цен p**.
5)    Эластичность спроса по цене ed является убывающей выпуклой функцией параметра  равновесной цены po допустимого интервала цен p*<p0<p** и эластична по данному параметру.
6)    Функция эластичности E(ed(p0)) отрицательна, обладает глобальным максимумом и убывает на интервале p*<p0<p**.

Библиографический список

1. Калитин Б.С. Экономические силы моделей конкурентного рынка // IX Международная научная конференция «Проблемы прогнозирования и государственного регулирования социально-экономического развития», 16  17 октября 2008 г. Материалы IX Междунар. науч. конф. (Минск, 1617 окт. 2008 г.) В 4 т. Т. 4 / редкол.: С.С. Полоник [и др.].  Мн.: НИЭИ Мин-ва экономики Респ. Беларусь.  2008.  С. 204206.
2. Калитин Б.С. О рыночном равновесии // Экономика и управление. 2008. № 3 (15). С. 24 28.
3. Калитин Б.С. О влиянии инноваций на равновесие рынка // Экономика, моделирование, прогнозирование: сб. научн. тр. Минск: НИЭИ Мин-ва экономики Респ. Беларусь, 2016. Вып. 10. С. 179186.
4. Калитин Б.С., Безрук В.В. 2009. Модель первого порядка монопольного рынка. Тр. ин-та математики. № 1. С. 61-70.
5. Калитин Б.С., Кузьмич М.С. К устойчивости рынка трех товаров / Б.С. Калитин, М.С. Кузьмич // Экономика, моделирование, прогнозирование: сб. научн. тр. Минск: НИЭИ Мин-ва экономики Респ. Беларусь,  2015.  Вып. 9.  С. 136-144.
6. Кузьмич М.С. Модель экономического равновесия с учетом госдотаций // Экономика, моделирование, прогнозирование: сб. научн. тр. Минск: НИЭИ Мин-ва экономики Респ. Беларусь, 2016. Вып. 10. С. 186194.